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너희들이 절대 수학 1등급을 받을 수 없는 이유
수능 모의고사 3등급 미만의 학생들과는 관련없는 글입니다. 해당되지 않는 친구들은 그냥 무조건 많이 하시면 됩니다. 돌아가기 누르고 weekly 채우러 가세요 :) 수학과목에서 좋은 성적을 받기
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지난 시간에는 수학에서 좋은 성적을 받기 위해선 개념/ 논리력/ 센스 3가지 분야에 대한 절대적인 실력이 필요하며,
대부분 학생들이 좋은 인강(학원) 선생님을 만나서 개념수업을 듣고,
많은 문제(집)을 풀면 자연스럽게 논리력도 길러지고 센스도 생길 것이라 생각하지만 착각이다.
모르는 부분을 찾아서 아는 본질적인 공부를 해야한다고 말씀 드렸습니다.
그 첫번째, 개념 공부에 대한 구체적인 길 입니다.
결론부터 말하면 정의+증명을 기본으로 하는 개념노트 작성을 하셔야 하고,
문제풀면서 그리고 선생님이랑 수업하면서 알게 되는 새로운 개념들을 지속적으로 추가하며 보완해 나가야합니다.
1) 개념의 정의에 대하여
첫번째 정의에 대해 다시 정리을 하셔야하는 이유는 여러분들이 아무리 좋은 인강(학원)을 들어도 놓치는 부분이 반드시 있기 때문입니다.
예를들어 2021학년도 3월 모의고사 입니다.
위 문제는 해당부분이 점근선이라는 것을 정확히 인지 한 후,
해당하는 그래프를 그려 점근선의 범위를 확인하면 바로 쉽게 풀리는 문제였습니다.
너무나 쉬운 문제인데 많은 학생들이 헤메거나 틀렸습니다. 왜 그럴까요? 점근선을 제대로 안배워서 그랬을까요?
지수로그함수에서 점근선에 대한 내용은 정석에 대문짝처럼 나와있는 개념입니다. 아마 대부분의 인강 강사님이나 학원에서도 수업하는 내용일 것입니다.
그러나 학생들은 보고도 못본채, 들어도 못들은척 하고 넘어가죠.
굳이 점근선 안따져도 그림 그릴 수 있고 또 대부분의 문제는 점근선의 존재를 몰라도 풀 수 있는 문제가 많거든요.
그러나 위의 문제에서 봤다시피 정의를 정확히 알고 또 인지하고 있지 않으면 문제에 제대로 적용할 수 없는 문제들이 있습니다. 그리고 이 문제들이 1등급과 3등급을 분리하게 됩니다.
정의에 대한 개념노트 작성이 중요한 이유입니다.
-> 사실 혼자 공부를 하다보면 어떤 개념이 특히 중요한 것인지, 문제에 자주 나오는지는 알기 어려운 것 잘 알고 있습니다. 이 부분은 제가 늘상 집어주고 있죠? 이제부터라도 개념노트를 꼼꼼히 쓰세요. 놓친 부분은 제가 다 주워담아드립니다.
생성2) 개념의 증명에 대하여
두번째 증명을 하셔야 하는 이유는 오직 증명을 통해서만 개념이 담고 있는 정확한 의미를 파악할 수 있기 때문입니다.
예를 들어 2022학년도 6월 모의고사 12번 문제입니다.
주어진 조건을 보고 코사인 법칙과 사인 법칙을 순서대로 써서 선분 DE를 구하면 되는 간단한 문제였습니다.
마지막 사인법칙에 대한 응용을 매끄럽게 이용하지 못해서 생각보다 많은 학생들이 틀리거나 푸는데 시간이 오래걸렸습니다.
정석에 나와있는 사인, 코사인 법칙의 정의입니다. 심플하네요!
정석에 나와있는 사인, 코사인 법칙의 증명입니다. 빨간색 사각형 박스에서 마지막 삼각형 BDE의 실루엣이 보이시나요?
감이 오셨죠.
수학의 증명이란 어떤 공리(조건)들을 이용해 새로운 개념과 공식을 도출시키는 과정입니다.
즉, 증명을 통해서 공식이 어떤 조건에서 어떤 논리를 가지고 나왔는지, 따라서 어떤 상황에서 어떻게 공식을 활용하여 문제를 풀 수 있을지에 대한 명확한 이해가 자리잡게 됩니다.
게다가 이렇게 공부하면 머리에 오래 남아 문제를 만났을 때 여러가지 파생개념들이 머리속에 떠올라 더욱 깊은 사고를 할 수가 있겠죠.
-> 가끔 증명을 하다보면 그런 생각이 들 수 있습니다. 내가 이런 것까지 알아야 하나? 결론은 네. 그러셔야합니다. 책에 나와있는 증명은 다 외우진 못해도 알긴 해야합니다. 이 부분은 뒤의 논리와 센스편에서 보충하도록 하겠습니다.
보완3) with 문제
세번째 문제풀이를 하면서 개념을 계속 보충해야하는 이유는 수능에 신유형이 등장하면서 매번 파생되는 개념이 계속 생기기 때문입니다.
전설적인 문제입니다. 어마어마한 불수능(1등급 컷 79점)이었고 이 문제도 당시 많은 학생들을 멘붕에 빠지게 한 문제중 하나였죠.
이 때 처음으로 '절대값 함수에 대한' 미분가능성 문제가 출제 되었습니다. (2009 개정 교육과정 이전에는 미분가능성을 묻는 문제조차 잘 출제되지 않았습니다)
이 충격적인 문제의 등장 이후에는 절대값 함수에 대한 미분가능성문제가 수능, 내신 가리지 않고 우후죽순으로 출제 되었고 마치 하나의 '개념'처럼 굳어졌습니다.
이러한 개념은 교과서에서 쉽게 찾아볼 수 없습니다.
그도 그럴 것이, 절대값 함수에서의 미분가능성은 하나의 '문제유형' 이지 정의나 개념이 아니기 때문입니다.
이처럼 우리가 아무리 개념을 빠지지 않고 잘 정리하고 증명하더라도 문제를 풀다보면 새롭게 만나는 개념들이 있습니다. 따라서 이것이 여러분이 문제를 풀면서 계속 개념노트를 보완해 나가야하는 이유입니다.
-> 이 부분에서 혼동하지 말아야 되는 것은 절대값 함수에서 미분가능한 점이 x축과의 교점이라는 것은 정확한 정의가 아니고 '문제유형' 이라는 것입니다. 늘 왜 그렇게 되는지를 인지해야합니다. 모 업체의 인강선생님이 밀고 계시는 삼사차함수의 비율관계도 마찬가지입니다. 이러한 것들은 '보완'해야할 대상이지 본질을 '대체'할 수는 없습니다.
보완4) with 선생님
저에게 수업을 들어본 학생들은 알겠지만 제가 늘 강조하는 것 중에 하나는 함수의 정의역입니다.
f(x)=x, g(x)=x^3 은 다른 함수일까요?
x={-1,0,1} 이면 f(x)={-1,0,1} , g(x)={-1,0,1} 로 같은 함수입니다.
정의역을 어떻게 정의하느냐에 따라 함수 자체가 달라질 수 있습니다.
함수의 정의역과 공역이 같을 때만 같은 함수라고 합니다. 이 개념을 알고 있었나요?
고등학교 1학년 2학기 함수 파트에서의 개념입니다.
두번째 질문입니다. 우리가 수없이 배운 삼차함수. 이 때 정의역은 무엇일까요?
모든 실수라고 자신있게 답할 수 있었나요?
사실 우리가 배운 모든 함수는 특별한 조건이 없다면 실수에서 정의됩니다.
만약 정의역이 실수를 벗어나게 된다면 우리는 복소평면을 도입해야 합니다. 가로축이 실수, 세로축이 허수인 평면이죠.
3+2i 라는 복소수를 나타내고 싶으면 복소평면에서 (3,2)라고 나타내면 됩니다.
간단하죠?
이 개념을 이용해 위의 무리함수의 정의역을 '간단히' 실수를 넘겨서 복소수로 정의하면 다음과 같이 표현됩니다.
그리고 복소영역에서의 일반적인 미분과 적분은 다음과 같은 정의에 의해 표현 될 수 있습니다.
위의 개념은 복소영역에 대한 개념 중에 매우 기초적인 형태의 미분적분입니다.
다음은 함수가 해석적일때... 그만하겠습니다.
자, 이제 우리의 교육과정으로 돌아와 봅시다.
우리에게 주어지는 정의역의 범위가 얼마나 감사하고 소중한지 알 수가 있습니다.
이렇게 한 번 혼이 나가고 나면 정의역이 자연수인지 정수인지 실수인지 흘려보내지 않고 눈에 불을 켜고 보게 되겠죠??
물론 제가 학생들에게 함수의 엄밀한 정의(고1)나 복소영역에서의 미적분(대학2학년이상)을 수업하지는 않습니다.
다만, 함수의 정의역이 중요하며 그 예로 y=x, y=x^3 의 항등에 관한 얘기와 복소평면이라는 간단한 개념은 소개해줄 수 있겠죠.
이처럼 교과서에 나오지 않는 수능 이하 이상의 개념들을 살짝 보충해주면 수학의 개념들을 깊이 이해할 수 있습니다.
-> 제가 아무학생에게나 대학레벨의 이야기를 해주지 않습니다. 수능범위를 넘긴 개념을 말해줄 때는 그 학생이 현재 개념을 거의 완벽하게 알았다고 판단할 때 사고를 유연하게 하라고 살짝살짝 수업을 하게 됩니다. 따라서 수업때 이런 주제에 대해 얘기를 들었을 때는 내가 어느정도 개념마스터의 경지에 도달해가고 있구나 생각하시면 됩니다. (^^)
3줄 요약
1. 개념공부를 하자
2. 개념노트는 교과서보며 정의+증명으로 탄탄하게 만들자
3. 문제풀면서 그리고 선생님과 수업하면서 개념노트를 보완해 나가자
다음 시간에는 어떻게 하면 논리력과 센스를 기를 수 있는지에 대해 칼럼을 쓰도록 하겠습니다.
https://ghebook.blogspot.com/2012/08/complex-analysis.html
복소 함수론(Complex Analysis)의 쉬운 이해
물리학, 수학, 전자파, RF, 초고주파, 안테나, 통신 이론, 정보 이론
ghebook.blogspot.com
위에서 언급한 내용중 복소수 범위에서 함수를 다루는 학문을 복소해석학이라고 하는데, 궁금한 분 계시면 위의 사이트를 참고해보세요. (과연 있을까?)